Value At Risk - VAR.
La Value at Risk (VAR) est un instrument d'analyse des risques permettant de déterminer la perte maximale d'un portefeuille sur une période donnée avec une probabilité donnée. La Value at Risk n'est pas une prévision mais une estimation du risque sur une position déjà en portefeuille.
La Var est un outil de gestion du risque aujourd'hui utilisée la gestion d'actifs et la gestion financière mais également dans tous les autres domaines. La Value at risk traduit de l'exposition au risque d'un actif ou d'un acteur financier à un facteur donné.
Dans les assurances, le risque de catastrophe naturelle est par exemple mesuré par cet instrument. La VAR indique la perte potentielle pour l'établissement financier si ce type d’événement survient. Dans les banques, la value at risk permet une meilleure gestion des risques financiers. Les banques centrales réalisent des stress test pour évaluer le respect des ratio Bâle III et la capacité de la banque à supporter une crise financière avec ses fonds propres. En bourse, la VAR permet d'analyser le risque de marché (risque de change, risque de contrepartie , risque opérationnel, risques bancaires, risques financiers, risque de crédit. ).
La Value at Risk prend en compte la diversification du portefeuille. Si plusieurs actifs sont dans le portefeuille, la VAR varie en fonction du degré de corrélation entre les actifs . Si les actifs sont corrélés positivement, la perte potentielle est beaucoup plus grande. A l'inverse, s'ils sont négativement corrélés, l'effet de diversification est maximal sur la VAR.
Value at risk et loi normale.
La value at risk est fonction de plusieurs paramètres :
La distribution des résultats (pertes et profits) du portefeuille.
: Cette distribution de probabilité peut suivre une loi normale ou être basée sur l'historique des distributions (ou sur un temps donné). Afin de ne pas fausser le calcul de la Value at risk il faut déterminer la bonne période à utiliser. Si la période est trop courte, cela ne prend pas en compte assez d'éléments exceptionnels pour un calcul efficient de la VAR. Si la période est trop longue, il peut y avoir une incohérence temporelle (les résultats ne sont pas comparables).
Intervalle de confiance.
: Il se situe généralement entre 95 et 99% soit un paramètre compris entre 0 et 1. L'intervalle de confiance correspond à la probabilité que la perte maximum ne soit pas supérieure à la value at risk. La représentation graphique de distribution des probabilités est la suivante (loi de probabilité de la courbe de Gauss - Mouvement Brownien) : -
L'horizon temporel.
: Plus la durée de détention est longue, plus la perte potentielle peut être importante. Toutefois, les autorités de régulations exigent des durées de détention communes afin que la VAR soit validée pour les institutionnels.
Hypothèses de calcul de la Value at risk.
- De base, la VAR est calculé sur 1 jour. Pour l'avoir sur N jours, il faut multiplier le résultat obtenu par la racine de N.
- On suppose que les distributions suivent une loi normale de Gauss.
- Le rendement journalier d'un portefeuille est nul. En effet, si un actif à une rentabilité annuelle de 12%, son rendement journalier sera la suivant : 12/252 = 0.047% qui est donc très proche de 0 . 252 correspond au nombre de jours d'ouverture de la Bourse.
Méthode historique de calcul de la value at risk.
La méthode historique se base sur les données historiques de marché. Il est donc nécessaire de connaître la valeur passé du portefeuille à partir du prix des différents actifs et de la composition actuelle du portefeuille.
Exemple : Pour déterminer l'évolution du portefeuille (gains ou pertes quotidiens) sur les 1500 derniers jours, on va classer les résultats par ordre croissant. La 15eme (1500*(100%-99%)) valeur dans le classement correspondra à la value at risk à 99% à 1 jour. La 75ème valeur dans le classement correspondra à la VAR à 95% à 1 jour. C'est le montant de la perte maximale estimée.
Avantages : Très simple à calculer; La distribution des rendements des actifs n'est pas prise en compte.
Inconvénients : N'est pas adapté pour les produits dérivés; L'historique du portefeuille doit remonter loin dans le temps par rapport au niveau de confiance et à l'horizon temporel.
Méthode analytique de calcul de la VAR.
La méthode analytique se base sur des calculs statistiques afin de déterminer la loi de distribution des gains et pertes. On va pour cela établir des hypothèses de variation des différents facteurs de risques et évaluer le portefeuille en fonction des différents scénarios. Cette méthode est très utilisée par les assurances pour déterminer le cout de catastrophes naturelles exceptionnelles.
Hypothèses : Les distributions suivent une loi de Gauss; La relation entre la variation des actifs et des valeurs de marchés est linéaire comme cela est le cas pour les obligations ou les produits dérivés.
Exemple : Deux actifs sont en portefeuille d'un total de 50000€ avec 25000€ sur l'action BNP qui a une volatilité annuelle de 15% et 25000€ sur l'action Renault qui a une volatilité de 10%.
On calcul dans un premier temps la volatilité quotidienne (écart type à 1j noté 61j) pour chaque actif du portefeuille (252j - nombre de jours ou la bourse est ouverte) : 61j BNP = 15%/√252 = 0.95% 61j Renault = 10%/√252 = 0.60% On peut alors calculer la VAR de chaque actif par exemple pour un indice de confiance de 99% à 1 j : Var BNP (99%,1j) = 25 000 * 2.33 * 0.95% = 553,375 € Var Renault (99%,1j) = 25 000 * 2.33 * 0.60% = 349,5 € Pour une value at risk à Xj, on multiplie le résultat obtenu par √X. Afin de prendre en compte la corrélation entre les deux actifs, on va alors appliquer la formule suivante : Avec p= coefficient de corrélation entre A et B.
Dans notre exemple (avec p = 0.4), Var A+B = √(553.375²+349.5²+2*0.4*553.375*349.5) = 763.608 € La value at risk globale du portefeuille (763.608€) est inférieure à la VarA+VarB (553.375+349.5= 902.875€). Cela est du à l'effet de diversification du portefeuille. Moins les actifs sont corrélés, plus la VAR globale sera faible.
Si le portefeuille à plus de 2 actifs, il faudra construire une matrice de variance-covariance pour calculer la VAR globale.
Avantage : Calculs simples.
Inconvénients : Non adapté aux produits optionnelles et aux distributions non normales des rendements.
Méthode de Monte Carlo de la Value at Risk.
La méthode de Monte Carlo se base sur un tirage au sorts des échantillons de facteurs de risques à partir des variations historiques. On alors simuler plusieurs valeurs possibles pour chaque facteur (taux de change, cours d'une action. ). On va ainsi pouvoir déterminer le résultat (gain ou perte) pour chaque simulation.
Exemple : Soit un investisseur souhaitant acheter des actions pour les revendre dans 3 ans. Il va alors établir une liste des facteurs pouvant influencer le cours de l'action. Par la méthode de Monte Carlo, il va alors simuler une multitude de scénario (1000 par exemple) et déterminer le résultat espéré à l'issue des 3 ans pour chaque simulation.
Pour obtenir une VAR à 99%, le fonctionnement est le même que pour la méthode historique. Il va trier les résultats par ordre croissant et prendre la 10ème valeur (les pires scénarios). Il aura alors 99% de chance que ces pertes n'excède pas ce montant durant les 3 ans de détention du titre.
Avantages : Utilisable pour les produits dérivés; Convient à tous les types d'instruments au contraire des autres méthodes.
Inconvénients : Les calculs sont très lourds; Il faut déterminer les facteurs de risque et élaborer des scénarios ce qui prend beaucoup de temps.
Les limites de la VAR.
- La value at risk se base sur une distribution normale des variations de prix des actifs. De ce fait, les queues de distribution sont bien souvent mal évaluées. Certains mouvements de marché ne suivent pas une loi normale.
- La VAR se base sur l'étude du passé pour prédire l'évolution future des cours. Or, les performances passées ne garantissent pas les performances futures. Le résultat final est donc contestable.
- Dans le calcul de la value at risk, l'horizon est fixe. Or, il se peut que le marché ne soit pas assez liquide pour couper ses positions ou qu'un brusque mouvement de marché (krach) nous force à prolonger la durée de détention.
- Pour obtenir une VAR la plus juste possible, il faut affiner les calculs, l'étude des facteurs de risque. Pour une raison de temps ou de technique (machines pas assez puissantes), de nombreuses approximations sont faites ce qui influence le résultat final.
- Si le dépassement de la value at risk intervient souvent, le modèle lui même peut être remis en question. Les différentes crises qui se succèdent actuellement en sont l'exemple. Une succession de catastrophes naturelles pour un assureur va entraîner un dépassement à plusieurs reprises de la VAR. Doit-on utiliser un autre modèle?
La question de l'utilisation de la VAR n'est toutefois pas remis en cause malgré ses nombreuses limites et a d'ailleurs été validé par les différentes autorités de régulation. La value at risk est aujourd'hui utilisée dans de nombreux domaines : le trading, la gestion de fonds, la trésorerie d'entreprise, les assurances, les entreprises de crédits.